незатухающие колебания, которые могут существовать в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, причём амплитуда и период колебаний определяются свойствами самой системы. Этим А. отличаются от вынужденных колебаний (См. Вынужденные колебания), амплитуда и период которых определяются характером внешнего воздействия (приставка "авто" и указывает на то, что колебания возникают в самой системе, а не навязываются внешним воздействием). А. отличаются и от свободных колебаний (например, колебаний свободно подвешенного маятника, колебаний силы тока в электрическом контуре) тем, что, во-первых, свободные колебания постепенно затухают, во-вторых, их амплитуда зависит от первоначального "толчка", создающего эти колебания. Примерами А. могут служить колебания, совершаемые маятником часов, колебания струны в смычковых или столба воздуха в духовых музыкальных инструментах, электрические колебания в ламповом генераторе (см. Генерирование электрических колебаний). Системы, в которых возникают А., называются автоколебательными.

Автоколебательные системы во многих случаях можно разделить на 3 основных элемента: 1) колебательную систему (в узком смысле); 2) источник энергии, за счет которого поддерживаются А., и 3) устройство, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему. Эти 3 основных элемента могут быть отчётливо выделены, например, в часах (См. Часы), в которых маятник или баланс служит колебательной системой, пружинный или гиревой завод - источником энергии, и, наконец, анкерный ход - механизмом, регулирующим поступление энергии из источника в систему. В ламповом генераторе колебательной системой служит контур, содержащий ёмкость и индуктивность и обладающий малым активным сопротивлением; выпрямитель (или батарея), питающий напряжением анод лампы, является источником энергии, а электронная лампа с элементом обратной связи (См. Обратная связь) - устройством, регулирующим поступление энергии из источника в колебательный контур.

В часах, например, А. осуществляются следующим образом (рис.). При прохождении качающегося балансира 1 через определённое положение (обычно дважды за период) спусковое устройство 2 и 3 подталкивает колесо балансира, сообщая ему энергию, необходимую для того, чтобы компенсировать потерю энергии за полпериода колебаний. Балансир часов совершает А. с амплитудой, целиком определяемой свойствами часового механизма. Однако для того, чтобы эти А. возникли, обычно нужно не только завести пружинный завод, но и слегка встряхнуть часы, т. е. сообщить начальный толчок балансиру. Т. о., часы - это в большинстве случаев автоколебательная система без самовозбуждения. В духовых инструментах продувание струи воздуха поддерживает А. столба воздуха в трубе инструмента, а в струнных смычковых инструментах А. поддерживаются силой трения, действующей между смычком и струной.

Чтобы колебания были незатухающими, поступающая из источника в систему энергия должна компенсировать потери энергии в самой системе. Такая компенсация происходит в целом за период колебаний; но в одни части периода поступающая энергия может превышать потери в системе, в другие, наоборот, потери в системе могут превышать поступление энергии в неё. То значение амплитуды колебаний, при котором происходит компенсация потерь в целом за период, и является стационарным (не изменяющимся со временем) значением амплитуды А. Такой баланс поступления и потерь энергии оказывается возможным только при определённых значениях амплитуды А. (в простейших случаях только при одном значении).

Обычно при значениях амплитуды колебаний, меньших стационарной, поступление энергии в систему превышает потери в ней, вследствие чего амплитуда колебаний возрастает и достигает стационарного значения. В частности, если в систему поступает энергия больше, чем теряется в ней при сколь угодно малых амплитудах колебаний, то происходит самовозбуждение колебаний. Наоборот, при амплитудах, превышающих стационарное значение, потери энергии в системе обычно превышают поступление энергии из источника, вследствие чего амплитуда колебаний уменьшается и также достигает стационарного значения. Т. о., отклонения амплитуды А. в ту или другую сторону от стационарного значения затухают, и А. в этих случаях устойчивы.

Однако в некоторых случаях отклонение амплитуды колебаний от стационарного значения и нарушение компенсации потерь энергии в системе приводят к дальнейшему росту отклонений амплитуды от стационарного значения. Это будет иметь место, если при уменьшении амплитуды потери начинают преобладать над поступлением энергии или, наоборот, при увеличении амплитуды поступление энергии начинает преобладать над потерями. В этом случае А. неустойчивы, и, вследствие наличия во всякой реальной системе неизбежных возмущений и толчков, такие А. длительное время существовать не могут.

Форма А. может быть различной. Если Добротность колебательной системы велика, т. е. потери энергии в колебательной системе относительно малы, то для поддержания А. в систему за период должно поступать количество энергии, очень малое по сравнению с полной энергией колебательной системы. При этом характер происходящих процессов почти не изменяется по сравнению с тем, как они протекали бы в системе без поступления энергии. В этом случае период и форма А. будут очень близки к периоду и форме собственных колебаний (См. Собственные колебания) колебательной системы; если собственные колебания в системе по форме близки к гармоническим, то А. также близки к гармоническим.

В систему с малой добротностью для поддержания А. должна поступать энергия, уже не малая по сравнению с энергией системы, что может существенно изменить характер происходящих в ней процессов; в частности, форма А. может значительно отличаться от синусоидальной. Если за период А. рассеивается вся накопленная в системе энергия (т. е. система уже не колебательная, а апериодическая), то А. могут очень сильно отличаться по форме от синусоидальных, т. е. превратиться в т. н. Релаксационные колебания.

Возможность установления баланса энергии только при определённых значениях амплитуды А. обусловлена наличием в системе т. н. нелинейного элемента, свойства которого зависят от состояния системы (например, сопротивления, которое зависит от приложенного к этому сопротивлению напряжения).

Лит.: Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959; Теодорчик К. Ф., Автоколебательные системы, 3 изд., М.- Л., 1952.

С. Э. Хайкин.

Спусковой механизм часов: 1 - балансир; 2 - анкерная вилка; 3 - спусковое колесо.

движения (изменения состояния), обладающие той или иной степенью повторяемости. При К. маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения. При К. пружинного маятника - груза, висящего на пружине,- повторяются отклонения его вверх и вниз от некоторого среднего положения. При К. в электрическом контуре, обладающем ёмкостью С и индуктивностью L, повторяются величина и знак заряда q на каждой пластине конденсатора. К. маятника происходят потому, что: 1) сила тяжести возвращает отклоненный маятник в положение равновесия; 2) вернувшись в положение равновесия, маятник, обладая скоростью, продолжает двигаться (по инерции) и снова отклоняется от положения равновесия в сторону, противоположную той, откуда он пришёл. К. груза происходят потому, что: 1) упругая сила сжатой или растянутой пружины возвращает груз из смещенного вверх или вниз положения в положение равновесия; 2) вернувшись в положение равновесия, груз обладает скоростью и по инерции "проскакивает" через это положение, чем вызывается растяжение (или сжатие) пружины. К. в электрическом контуре происходят потому, что: 1) разность потенциалов между обкладками заряженного конденсатора вызывает появление тока i в катушке; 2) ток не прекращается в тот момент, когда конденсатор полностью разряжен: благодаря индуктивности катушки ток продолжает течь дальше, перезаряжая конденсатор (см. Электрические колебания).

Физика и техника имеют дело с К., весьма разнообразными по своей физической природе, характеру и степени повторяемости, быстроте смены состояний, "механизму" возникновения. По своей физической природе могут быть выделены, в частности, К.: а) механические, например К. маятника, моста, корабля на волне, струны; К. плотности и давления воздуха при распространении в нём упругих (акустических) волн, в частности слышимого звука; б) электромагнитные, например К. в колебательном контуре (См. Колебательный контур), объёмном резонаторе (См. Объёмный резонатор), Волноводе, К. напряжённостей электрического и магнитного полей в радиоволнах, волнах видимого света и любых др. электромагнитных волнах; в) электромеханические (К. мембраны телефона, пьезокварцевого или магнитострикционного излучателя Ультразвука); г) химические (К. концентрации реагирующих веществ при так называемых периодических химических реакциях); д) термодинамические (например, так называемое поющее пламя) и др. тепловые автоколебания, встречающиеся в акустике, а также в некоторых типах реактивных двигателей. Большой интерес в астрофизике представляют К. яркости цефеид (См. Цефеиды). Таким образом, К. охватывают огромную область физических явлений и технических процессов. В частности, К. имеют первостепенное значение в судостроении, самолетостроении, электротехнике, технике автоматического регулирования. На их использовании основана вся радиотехника и техническая акустика. К. встречаются также в метеорологии, химии, физиологии (например, пульсации сердца) и в ряде др. естественных наук.

К. присущи некоторые характерные закономерности, одинаковые для К. различной физической природы. Вследствие этого возникла область физики - теория К., занимающаяся исследованием общих закономерностей К. Математическим аппаратом теории К. являются главным образом Дифференциальные уравнения. Существуют группы К. различной физической природы, которым соответствуют аналогичные дифференциальные уравнения [например, К. маятника, груза на пружине и электрического контура (см. илл.); часов и лампового генератора; упругого стержня и электрического кабеля]. Аналогичность этих уравнений отображает общность некоторых объективно существующих закономерностей, присущих К. этой группы. Однако аналогии между К. различной физической природы, как и всякие аналогии, ограничены определёнными рамками; они охватывают далеко не все существенные черты К.

Исследование К. маятника, предпринятое в начале 17 в. итальянским учёным Г. Галилеем, а затем голландским учёным Х. Гюйгенсом, сыграло важнейшую роль в возникновении классической механики. Изучение в конце 19 в. электромагнитных К. английским физиком У. Томсоном (Кельвином) имело большое значение для понимания электромагнитных явлений. Много важных сведений и результатов по теории К. содержится в трудах английского физика Дж. Рэлея (См. Рэлей).

Учение о К. многим обязано трудам русских учёных. Изобретение радио А. С. Поповым (1895) явилось важнейшим техническим применением электромагнитных колебаний. П. Н. Лебедев посвятил ряд выдающихся исследований получению электромагнитных К. очень высокой частоты, ультразвуковым К. и поведению вещества под действием быстропеременных электрических полей. А. Н. Крылову принадлежат фундаментальные исследования по теории качки корабля. Большое значение в области изучения К., в частности нелинейных К., имели работы советских ученых Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. А. Андронова и др. Работы А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина содержат математическую основу теории случайных процессов в колебательных системах, получившей важное практическое значение.

Кинематика колебаний. С точки зрения кинематики можно выделить некоторые важнейшие типы К., где колеблющаяся величина s может быть любой физической природы (механическое смещение твёрдого тела, уплотнение газа, сила тока и т.д.). поясняет общий случай периодического К.; здесь каждое значение s повторяется неограниченное число раз через одинаковые промежутки времени t = T:

s (t+T)=s (t). (-∞

T называется периодом. Число К. в единицу времени ν = 1/Т называется частотой К.

Частными случаями периодических К. являются К. прямоугольные (), пилообразные (), синусоидальные (или гармонические,). В последнем случае s=Acos (ωt- φ),

где А, ω, φ - постоянные. Величина А (максимальное значение s) называется амплитудой. Так как значения cos (ωf - φ) повторяются при возрастании аргумента на 2π, то ωТ =2π и, следовательно,

ω=2π/Т=2πν.

Величина ω называется круговой, пли циклической, частотой, равна числу К. за 2π единиц времени. Функция времени ωt - (называется фазой К., постоянная φ - начальной фазой (часто её называют просто фазой). На изображено затухающее К.

s = Ae^-δtcos (ωt - φ),

где А, δ, ω,φ - постоянные. А называется начальной амплитудой, Ae^-δt - мгновенным значением амплитуды. δ - коэффициент затухания, τ=1/δ - временной постоянной (см. также Декремент затухания). Величина δ здесь положительна. При отрицательном знаке δ К. является нарастающим. Величины ωt - (,ω, φ имеют те же названия, что и в случае синусоидального К. Хотя затухающее К. не является точно периодическим, величина Т = 2 π/ω также называется периодом.

В физике и радиотехнике большое значение имеют модулированные К., то есть К. вида

s=A (t) cos [ωt- ω(t)],

причём функции A (t), ω(t) меняются медленно по сравнению с cosωt (ω - постоянная). Если φ(t) = const. то К. называются амплитудно-модулированным (рис. 3, ж), если A (t) = const (рис. 3, з) - модулированным по фазе (или по частоте; см. Модуляция колебаний). В общем случае () К. модулированы как по амплитуде, так и по фазе. соответствуют периодической амплитудной и фазовой модуляции: A (t) и φ(t) - периодические функции. Важное значение в технике (радиотелефония, телевидение) и в физике имеет случай, когда A (t) или φ(t), или же обе одновременно являются так называемыми случайными функциями (). Часто в природе и технике встречаются беспорядочные К. (), например белый свет, акустический и электрический "белый" шум и т.п.

Ни в природе, ни в технике никогда не встречаются строго периодические (в частности, строго гармонические) К. Тем не менее гармонические К. весьма важны по двум причинам. 1) В природе и технических устройствах часто возникают К., мало отличающиеся на протяжении достаточно большого времени от гармонических. 2) Многие физические системы, принадлежащие к классу спектральных приборов в широком смысле этого слова или гармонических анализаторов, преобразуют произвольные К. в набор К., близких к гармоническим. Когда говорят о гармонических К., всегда имеют в виду К., лишь близкие к гармоническим. Гармонические К. даже одинаковой физической природы (К. давления воздуха, напряженности электрического поля), но различной частоты могут обладать (наряду с аналогичными) резко различающимися свойствами; они могут совершенно по-разному воздействовать на те или иные физические системы и живые организмы и, в частности, на органы чувств человека и животных (см. Слух, Зрение).

Возникновение колебаний. Здесь рассматривается возникновение К. в системе, не получающей К. извне, а являющейся источником К. В случае, когда система приходит в К. под действием К., подводимых извне, говорят не о возникновении К., а о воздействии К. на систему и о преобразовании их системой. В пассивных (не содержащих источников энергии) системах такое воздействие вызывает Вынужденные колебания. Существует 3 основных типа К. в системах, являющихся источниками К. 1) Свободные (или собственные) К., происходящие, когда система предоставлена самой себе после нарушения равновесия вмешательством извне, например К. пружинного маятника (рис. 1, б) и К. тока в электрическом контуре (рис. 2).

Свободные К. пружинного маятника и колебательного контура относятся к частному типу свободных К. в линейных колебательных системах (то есть системах, обладающих параметрами, практически неизменными, и описываемых с достаточной точностью линейными дифференциальными уравнениями) с одной степенью свободы. В линейных системах с N степенями свободы (N>1) свободные К. в каждой точке являются суперпозицией N К. (см. Нормальные колебания). В линейных распределённых системах (если отвлечься от атомистической структуры вещества), например струне, стержне, трубе, а также в электрическом кабеле, объемном резонаторе, свободные К. в каждой точке являются суперпозицией бесконечного числа К. Если восстанавливающая сила, т. е. сила, возвращающая систему к положению равновесия, не пропорциональна отклонению от него, свободные К. описываются нелинейным дифференциальным уравнением, например в случае маятника, когда амплитуду нельзя считать очень малой. Такие системы называются нелинейными. Здесь, в отличие от линейных систем, свободные К. (даже если не учитывать затухания) не синусоидальны, и, кроме того, период их зависит от начальных условий, например у маятника период свободных К. тем больше, чем больше амплитуда. Лишь в пределе, когда она стремится к нулю, система становится линейной, а её К. - изохронными: период не зависит от амплитуды.

2) Флуктуационные К., происходящие в результате теплового движения вещества. Поскольку маятник, груз, контур участвуют в тепловом движении материи, они совершают никогда не прекращающиеся флуктуационные К. (см. Флуктуации) - один из видов броуновского движения (См. Броуновское движение). Эти К. особенно легко обнаружить и наблюдать в случае колебательного контура, в котором происходят флуктуации напряжения и тока, применяя усилитель с большим коэффициентом усиления и Осциллограф. Флуктуационные К. в колебательных контурах, антеннах и т.д. - важнейший фактор, ограничивающий чувствительность радиоприёмников.

3) Автоколебания - незатухающие К., которые могут существовать при отсутствии переменного внешнего воздействия, причем амплитуда и период К. определяются только свойствами самой системы и в определенных пределах не зависят от начальных условий. Примерами являются: К. маятника или баланса часов, поддерживаемые опусканием гири или раскручиванием спиральной пружины, звучание духовых и смычковых музыкальных инструментов, К. всевозможных электронных ламповых генераторов, применяемых в радиотехнике, и др. Подробнее см. Автоколебания.

Распространение колебаний. Колеблющийся маятник () приводит в движение раму, на которой он подвешен; рама приводит в движение стол и так далее. Таким образом, К. не остаются локализованными, а распространяются, охватывая все окружающие тела. Явление распространения К. гораздо сильнее выражено в случае более быстрых механических (звуковых) К. - струны, колокола, воздуха в трубах музыкальных духовых инструментов и тому подобное. Здесь распространение К. происходит главным образом через воздух. Вокруг источников электрических К. возникают переменные электрические и магнитные поля, распространяющиеся вдаль от точки к точке через диэлектрики (в том числе вакуум). Процессы распространения К. (а также всяких возмущений) называются волнами.

Общий характер колебательных воздействий. Прогиб балки под действием постоянной нагрузки тем больше, чем больше нагрузка; сила тока, возникающего под действием постоянной эдс, тем больше, чем больше эдс, и так далее. В случае колеблющейся нагрузки, переменной эдс и др. колебательных воздействий дело обстоит гораздо сложнее - здесь имеют место вынужденные колебания. Результат воздействия в этом случае зависит не только от его интенсивности, но также в большой степени от его темпа, от того, как оно изменяется со временем. В этом состоит одна из основных и характерных черт К.

Пусть на груз пружинного маятника действует ряд периодически повторяющихся кратковременных толчков снизу вверх. В силу линейности системы для неё справедлив Суперпозиции принцип: действия отдельных толчков складываются. Вообще говоря, действие очередного толчка будет одинаково часто как усиливать, так и ослаблять действие всех предыдущих; амплитуда К. будет то увеличиваться, то уменьшаться, оставаясь сравнительно небольшой. Но если период толчков равен или кратен периоду собственных К., то каждый толчок, действуя "в такт" с К., будет усиливать действие предыдущих и пружинный маятник раскачается до очень большой амплитуды. Рост амплитуды прекратиться только благодаря тому, что существенное значение при большой раскачке приобретает затухание К. за время между двумя толчками. Раскачка линейной колебательной системы под влиянием периодических толчков, ограниченная только затуханием, представляет собой так называемое явление Резонанса. Другой важный случай резонанса наступает при действии на такую систему непрерывной силы, изменяющейся по синусоидальному закону, если частота её изменения совпадает с частотой ω₀ свободных К. системы.

При периодическом изменении параметра колебательной системы, например, длины нити маятника, емкости колебательного контура и так далее, вообще говоря, маятник не будет раскачиваться, в контуре не будет возникать электрических К. и так далее. Но и здесь при подходящем темпе воздействия (лучше всего, если параметр меняется с частотой, равной 2ω) могут возникнуть К. В любой колебательной системе вследствие воздействия на неё различных случайных факторов всегда существуют флуктуационные К., которые имеют сплошной спектр со всевозможными фазами гармонических составляющих. Поэтому периодические изменения параметра системы всегда совпадут по фазе с одной из гармонических составляющих и ее амплитуда будет возрастать, при этом маятник начнет раскачиваться около вертикали, в контуре появляются нарастающие электромагнитные К. (см. Параметрическое возбуждение колебаний).

Частоты некоторых важнейших К. Вращение есть суперпозиция двух взаимно перпендикулярных гармонических К. Обращение планет вокруг Солнца совершается с частотами от 1,28∙10^-9 гц (Плутон, период 250 лет) до 1,32∙10^-7 гц (Меркурий, период 88 сут). Сутки - период обращения Земли вокруг её оси - соответствуют частоте около 1,16∙10^-5 гц. Морские приливы и отливы происходят с частотой того же порядка. Морские волны, возникающие под действием ветра, имеют частоту Колебания10^-1 гц. К. сооружений, К. b вращение машин имеют частоты от долей до Колебания10^-4 гц. Механические К., воспринимаемые нормальным человеческим ухом как звук, совершаются с частотами от 20 гц до Колебания2∙10⁴ гц. Более быстрые (неслышимые) упругие К. с частотой до 10⁹ гц называются ультразвуковыми, а с частотами до 10¹² - 10¹³ гц называются гиперзвуковыми. К. атомов, из которых складывается тепловое движение твёрдых и жидких тел, а также К. атомов в молекулах присущи частоты порядка 10¹³ гц.

Переменный ток, вырабатываемый электростанциями, имеет в СССР и большинстве др. стран стандартную частоту 50 гц. Радиотехника использует электромагнитные К. и волны с частотой от 10⁵ гц (длинные волны) до 10¹¹ гц (миллиметровые волны). Оптика имеет дело с электромагнитными волнами, в которых К. напряжённости электрического и магнитного полей происходит с частотой от 10¹² гц до 10¹⁷ гц. К этому интервалу относится видимый свет (красный: 0,4∙10¹⁴ гц, фиолетовый: 0,75∙10¹⁴ гц). Интервал от 10¹² до 10¹⁴ гц соответствует инфракрасному, от 10¹⁵ до 10¹⁷ гц - ультрафиолетовому излучениям. Далее в порядке повышения частоты идут рентгеновское излучение (10¹⁸ - 10¹⁹ гц), гамма-излучение (10²⁰ гц), электромагнитное излучение, входящее в состав космических лучей (до 10²² гц и более).

Лит.: Элементарный учебник физики, под ред. Г. С. Ландсберга, 7 изд., т. 1, М., 1971; Красильников В. А., Звуковые волны в воздухе, воде и твердых телах, М.- Л.,1951; Стрэтт Дж. В. (Рэлей), Теория звука, пер. с англ., т. 1-2, М.- Л., 1940-44; Андронов А. А. и Хайкин С. Э., Теория колебаний, ч. 1, М.- Л., 1937; Стрелков С. П., Введение и теорию колебаний, М.- Л., 1951; Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М.-Л., 1959.

Г. С. Горелик.

Рис. 1. а - колебания маятника; б - колебания груза на пружине.

Рис. 2. Электрический колебательный контур: С - ёмкость; L - индуктивность; q - заряд на обкладках конденсатора; i - ток в цепи.

Рис. 3. Различные виды колебаний: а - общий случай периодического колебания; б - прямоугольные колебания; в - пилообразные; г - синусоидальные; д - затухающие; е - нарастающие; ж - амплитудно-модулированные; з - частотно-модулированные; и - колебания, модулированные по амплитуде и по фазе; к - колебания, амплитуда и фаза которых - случайные функции; л - беспорядочные колебания; s - колеблющаяся величина.